２０２１年度の研究では，研究計画調書に記した，古典的な Lerch ゼータ関数の定義級数に任意 modulus $f$ の原始指標（の変数を任意整数 $c$ だけシフトして得られる関数 $chi_c$）を挿入して定義された Dirichlet-Lerch 型 $L$ 関数 $L_{chi_c}(s,alpha,lambda)$ について，以下の成果が得られた： 
i) Dirichlet-Lerch 型 $L$ 関数の解析的挙動の解明：当該の $L$ 関数について，その変数 $s$ を $1-s$ に置き換えた際に成立する，ある種の「対称性」を有する「関数等式」の存在を証明した．この関数等式は，古典的な Lerch ゼータ関数が満たす関数等式の自然な一般化ともなっている．さらに，当該の $L$ 関数の任意の非正整数点 $s=-k$ $(k=0,1,ldots)$ における特殊値が，古典的な Bernoulli 多項式の定義母関数に上記の（シフト指標）$chi_c$ を適宜挿入して定義された母関数から定まる（指標付き）$chi_c$-Bernoulli 型多項式によって記述されることも明らかになった；
ii) Dirichlet-Lerch 型 $L$ 関数の漸近的挙動の解明：当該の $L$ 関数の指標 $chi$ に関する（離散的）積平均について，$fto+infty$ のときの $f$ の減少オーダーの完全漸近展開を確立した．さらに，パラメタ $alpha$ に関する（連続的）積平均について，変数 $(s_1,s_2)$ が $Im s_1=t=-Im s_2$ を満たしつつ $ttopminfty$ となるときの $t$ の減少オーダーの完全漸近展開を確立した；
iii）Dirichlet-Lerch 型 Eisenstein 級数の解析的・漸近的挙動の解明：古典的な Eisenstein 級数の定義級数に，それぞれ任意 modulus $(f,g)$（$(a,b)$ シフトした）原始指標　$(chi_a,psi_b)$ を挿入して定義される Dirichlet-Lerch 型 Eisenstein 級数について，付随するパラメタ $z$ が複素上半平面内を $ztoiinfty$ となるときの完全漸近展開を確立した．この展開公式からは，Rienmann ゼータ関数の奇数点での特殊値を Lambert 級数と結びつける，著名な Ramanujan 公式を指標を挿入した形の一般化も得られる．
The investigation during the Japanese fiscal year of 2021 was on the classical Lerch zeta-function twisted with any primitive Dirichlet character $chi_c$ (shifted with any integer $c$) modulo (any positive inteher) $f$，which is to be written by $L_{chi_c}(s,alpha,lambda)$. The head investigator has obtained the following results i)--iii):
i) Analytic aspects of $L_{chi_c}(s,alpha,lambda)$. The head investigator has established a functional equation for $L_{chi_c}(s,alpha,lambda)$ when the variable $s$ is replaced by $1-s$, which gives a natural generalization of that for the classical Lerch zeta-function. He also showed that the particular values of can be $L_{chi_c}(s,alpha,lambda)$ at any non-positive integer point $s=-k$ $(k=0,1,ldots)$ can be described by generalized Bernoulli polynomials, which are defined by a certain generating function of Bernoulli polynomials appropriately twisted with a (shifted) primitive character$chi_c$;
ii) Asymptotic aspects of $L_{chi_c}(s,alpha,lambda)$. The head investigator established complete asymptotic expansions in the descending order of $f$ as $fto+infty$ for the discrete mean values of the product of two Dirichlet-Lerch $L$-functions, averaged with any primitive Dirichlet character $chi$ modulo $f$. He at the same time established complete asymptotic expansions in the descending order of $t$ as $ttopminfty$, if the variables $(s_1,s_2)$ satisfy $Im s_1=t=-Im s_2$, for the continuous mean values of the product of two Drichlet-Lerch $L$-functions, averaged in terms of the associated parameter $alpha$;
iii) Asymptotic aspects of the Dirichlet-Lerch type Eisenstein series $F_{chi_a,psi_b}(s;alpha,beta;mu,nu;z)$ twisted with any primitive Dirichlet characters $(chi_a,psi_b)$ (sifted with any integers $(a,b)$): The head investigator has established a complete asymptotic expansion for the Dirichlet-Lerch Eisenstein series $F_{chi_a,psi_b}(s;alpha,beta;mu,nu;z)$ when the associated parameter $ztoiinfty$ through the complex upper half-plane; this expansion further gives a natural generalization (twisted with $(chi_a,psi_b)$) of a celabrated formula of Ramanujan for specific values at odd integer points of the Riemann zeta-function.