G=GL_n(R)とする. Bを上三角Borel群とし旗多様体G/Bを考える. PをBを含むある極大放物型部分群とした時G/BはG/Pを底空間としたタワー構造を持つ. このタワー構造とはサイズの異なるHeisenberg群をfiberとするfiber束を重ねた構造である. G/B
上の力学系として戸田格子が知られているが, タワー構造を含めたG/B上の力学系はfull Kostant-戸田格子として知られている. Λを可積分系の研究でよく現れるシフト行列と呼ばれる定数行列とする. Λ+下三角Borel行列全体のなすアファイン空間をLax行列の空間という. G/Bと下三角羃零群Nを同一視し定数Lax行列Lに対してaLa^-1
をLax軌道という.下三角のBorel行列=0ならば羃零軌道となる. 冪零軌道の極小軌道はユニタリー表現の最小の構成要素となるが冪零軌道のアナロジーとして本研究では上記のLax軌道なるものを考えた. 最小Lax軌道とはどのようなものか, そのユニタリー表現の研究に果たす役割はどのようなものだろうか. G/BはG/Pを底空間とするタワー構造を持つ. G/Pは2n-3次元Heisenberg群と同相である. X=U/Rとする.Xの座標としてu=UのLie環でn,1成分=0と置いたものが取れる. 一方Lax軌道はR^(n-2)の点qを初期データとする戸田格子の軌道である. その時間発展のパラメーターをtとするとtはR^(n-2)に属する. このqとtでXをパラメトライズするためにfull Kostant-戸田格子のchop積分に関するHamiltonian flowsを用いる. このHamiltonian flowsはG/Bのタワー構造のfiberに沿った時間発展を与える. このパラメーター付けでXには偏極つきのsymplectic構造が定義できる. 2n-3次元Heisenberg群UはXにsymplectic作用を持つ. そしてその作用からX上の直線束の切断上にUのユニタリー表現が定義できる. その既約分解を考える時プロパーな成分を見つけその成分による既約分解を求めるために佐藤超関数を用いる.
Let G be GL_n(R) and B be the Borel subgroup of G. Let P be the maximal parabolic subgroup including B. The flag manifold G/B has tower structure
with base space G/P. The tower structure is nested fiber bundle structure where each fiber is homeomorphic to Heisenberg group. Let U be 2n-3dimensional Heisenberg group and R be its center. We consider the quotient
space X=U/R. We parameterize all points of X by time parameters t and parameter of conserved quantities q. t and q are points of R^(n-2). This parameterization brings to X the polarized symplectic structure. For this parameterization, we use chop integrals of the full Kostant-Toda lattice.
U has symplectic action on X. This action brings the unitary representation of U ρ. To find proper irreducible components of ρ, we use Sato hyper functions.