本学事振興資金(Keio University Academic Development Funds for Individual Research)の援助を受け、2018年度はsuper twistrial double fibrationを利用しケーラー多様体（の関数環あるいはその構造層）の環構造の量子化（もう少し詳しく述べれば非可換な結合的環構造変形）について研究を行い、その研究成果を以下の論文として投稿中である。
著者名：Yuji HIROTA, Naoya MIYAZAKI and Tadashi TANIGUCHI
タイトル：On deformation quantiztion using super twistrial double fibration
投稿先：Geometric Methods in Physics XXXVII
年度：2018年
他方、量子化と技術的には関連し、すでに前世期後半にはHormanderによって体系的に展開されていたMorse型Phaseをもつstationary phase methodについてphase functionをMorse型より一般の「ArnoldのA,D,E型を含むような場合のstationary phase methodについての考察」を始めた。
これについては世界的にみてみると、上述の如くHormanderの仕事、とりわけ彼自身およびDuistermaatらによるMorse型phase functionをもつstationary phase methodの明示的公式が知られていたが、さらにそれと関連し、Fourier(振動型)積分（作用素）についての発展や、さらにVarcenkoの理論が前世期後半には知られていた。最後のVarcenkoの仕事については特異点論、トロイダル埋蔵など代数幾何学、解析幾何学とも関係し、明示的計算をおこなうのが困難な分野である。従ってまだ漸近展開などの明示的公式の系統化がなされているとは言い難く、理論もその途上であるといえよう。これについてその発展に必要となるであろうFresnel積分（の拡張）を留数解析や振動積分など多方面から拡張を行っている最中で自身草稿のような状態のものしかできあがっていない状況ではあるが、今後の課題と考え、なるべく早くまとまったものとして仕上げたいと考えている。
In 2018, according to Keio University Academic Development Funds for Individual Research, we studied quantization of (more precisely construction of non-commutative, associative algebra from) smooth functions or sections of structure sheaves of Kaehler manifolds.
Then we have the some results which including the following article:
Authors: Yuji HIROTA, Naoya MIYAZAKI and Tadashi TANIGUCHI
Title：On deformation quantiztion using super twistrial double fibration submitted to Geometric Methods in Physics XXXVII in 2018.
On the other hand, (relating to quantization) we started extention of stationary phase method via geometric asymptotics, on which there are partially affirmative results several by Lars Hormander. Using these techniques, he also developed celebrated theory of Fourier integral operators and application to linear partial differential equations. However it is only known that Hormander's and Duistermaat's works including stationary phase method with Morse type phase functions, and application to Fourier(oscillatory)integral (operators). Relating to these works, Varcenko's theory was also established. However, Varcenko's works are diffiicult to understand since it relates to resolution of singularities and troidal embedding.
So we would like to extend these area including A, D, E-types phase functions and try to write down an explicit asymptotic expansion formulae. This is our new aim for our study.
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