i) Lerch ゼータ関数の変数に関する積分変換の漸近的挙動 : 研究計画調書に記した, Lerch ゼータ関数の変数に関する, Laplace-Mellin型, Riemann-Liouville型の積分変換, 及びそれら積分変換の種々のiteration(s)に対して, 本研究代表者は, 積分変換のpivotal parameter $z$が, 適切な扇状領域内を, $z\to\0$となるとき$z$の増大オーダーの, また$z\to\infty$となるとき$z$の減少オーダーの, それぞれ$z$に関する完全漸近展開公式を導くことに成功した。成果は現在, 論文 "Asymptotic expansions for the Laplace-Mellin and Riemann-Liouville transforms of Lerch zeta-functions" として纏められ, 欧文学術雑誌に投稿中である ;
ii) 一般化されたEisenstein級数の漸近的挙動と, Weierstra{\ss}楕円関数論への応用 : 本研究課題と密接に関連するテーマとして, 上記 i) と同時並行的に, 本研究代表者は, 一般化されたEisenstein級数に付随するパラメタ$z$が, 適切な扇状領域内を$z\to0$となるとき, $z\to\infty$となるとき, それぞれの場合について完全漸近展開を導出することに成功した。これらの結果からは, Riemannゼータ関数の整数点での特殊値と, ある種のLambert級数とを深い形で結びつける, 古典的に著名なS. Ramanujanの公式の種々の一般化を導くことが出来る。さらには, Weierstra{\ss}の楕円$\wp$関数や, これから派生した, Weierstra{\ss}の $\zeta$ 関数, $\sigma$関数に対して, Lambert型級数による種々の表示式や, 底の変換公式を導出することにも成功した。成果は現在, 論文"Asymptotic expansions for a class of generalized holomorphic Eisenstein series : applications to Ramanujan's formula for $\zeta(2k+1)$ and Weierstra{\ss} elliptic function" として纏められ, 現在欧文学術雑誌に投稿準備中である;
i) Asymptotic aspects of certain integral transforms of Lerch zeta-functions : The head investigator has succeeded in establishing complete asymptotic expansions (in terms of its variable $s$) for the Laplace-Mellin and Riemann-Liouville transforms, together with their various iterations, of Lerch zeta-functions, when the pivotal parameter $z$ (for the transforms) tends to both $0$ and $\infty$ through the sector $|\arg z|<\pi$. The results obtained here are organized in the paper entitled "Asymptotic expansions for the Laplace-Mellin and Riemann-Liouville transforms of Lerch zeat-functions," which is currently submitted for publication ;
ii) Asymptotic expansions for a class of generalized holomorphic Eisenstein series and applications to Weierstra{\ss} elliptic and allied functions : The head investigator has, as a research parallel with i), succeeded in establishing complete asymptotic expansions for a class of generalized holomorphic Eisenstein series, when their associated parameter $z$ tends to both $0$ and $\infty$ through the complex upper half-plane. These expansions further yield several variants of S. Ramanujan's celebrated formula for specific values of the Riemann zeta-function, as well as various functional relations for Weierstra{\ss} elliptic $\wp$ function, together with allied $\zeta$ and $\sigma$ functions. The results obtained here are organized in the paper entitled "Asymptotic expansions for a class of generalized holomorphic Eisenstein series : applications to Ramanujan's formula for $\zeta(2k+1)$ and Weierstra{\ss} elliptic function," which is currently prepared for submission to some academic journal.
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