Oscillatory integral をもちいたFresnel積分の拡張においては、Arnoldの関数芽の分類に現れる関数をphaseとするような振動積分とその漸近展開公式の導出を目標としていたが、その準備のために１変数の場合から研究を始めることとしたが想像していたより緩い条件下である程度精度の良い結果を得ることができた。特に振動がかなり遅いようなphaseであってもそれに応じて緩やかな振幅関数を取ることにより振動型積分の収束を示すことができた。
この研究は多変数の場合の「Morse 型ではない」場合も含めた stationary phase method の理論の構築と、そのために従来から知られていたFresnel 積分を留数解析と振動型積分両面から解析・拡張をおこなうことをその基盤とする。その目標は、Arnold の関数芽の分類表にあるように、特異点を持つ関数の芽の型がA 型の関数が phase function になっている場合にも、漸近展開の明示公式が得られるものと期待してのものでり、現在は多変数で正規形と呼ばれるタイプの研究にも着手をした。
さらに、トーラス作用を持つシンプレクティック多様体についてそのモーメントマップが Morse 型ではない場合にも Duistermaat-Heckman 型の公式が得られるのではないかと期待している。
As to studies of extension of Fresnel integrals using oscillatory integrals, our purpose is to define oscillatory integral with phase functions which appear classification of function germs by Arnold and to get asymptotic expansion formulae of them. As preparation, we started a study of oscillatory integrals of one variables. Then under certain conditions, we could proved convergence of oscillatory integrals.
This study was aimed to would get to establish stationary phase method of multi-variables with Morse type and NON Morse type phase functions and to obtain extension of Fresnel integrals by residue analysis and stationary phase method. Now we have started a study of asymptotic expansion of oscillatory integrals with phase functions which have type "A" function germ of Arnold's classification.
Moreover as to symplectic manifolds with toric actions of NON Morse type moment maps, we expect to get the Duistermaat-Heckmann type theorem. These are our purpose in the next stage.