Au tours du developpement des theories formelles des ensembles sont montrees importantes les deux methodes de separer la notion mathematique d'ensemble de la notion intuitive d'aggregat et de la preciser par des moyens formels : la premiere est la theorie des types a la Russell, et la seconde la theorie construite par Zermelo, modifiee par Neumann et Bernays au cours du temps, qui utilise les axiomes specifiques de former des ensembles elementaires. Quine presente le nouveau systeme de "New Fonndations for Mathematical Logic" (NF), dont le point caracteristique est de simplifier la methode de la theorie des types et de la concentrer en la methode de "stratification". On peut tenir les points suivants pour ses merites : 1) it n'a plus besoin de l'axiome de reductibilite ; 2) la differenciation du type de chaque nombre s'y disparait. En resultat, le systeme NF semble plus naturelle que la theorie originelle de Russell. Mais NF contient quleques caracteres curieux et inconvenients. Ils se manifestent particulierement alentour du theoreme de Cantor ; autrement dit, it existe les ensembles non-Cantoriens, auxquels le theoreme n'est pas applicable. L'exemple typique en est l'ensemble universel V. A cause des ensembles pathologiques de cette sorte l'axiome de choix n'est plus compatible avec le systeme NF. Un autre systeme de Quine, appele ordinairement "Mathematical Logic" (ML), se serve de l'idee essentielle de Neumann et de Bernays qui consiste en la distinction d'entre l'ensemble et la classe. La classe est l'objet qui est construit librement par la formation conceptuelle, tandis que l'ensemble n'est fait que par des procedes restreints. Les defauts de NF cites au-dessus y sont ainsi elimines. Le sujet de cet article est de comparer les deux systemes NF et ML et d'en eclaircir les differences principales qui concernent surtout l'induction mathematique, l'axiome de l'infini et les ensembles non-Cantoriens.

橋本孝先生古希記念論文集